摘要

学习等变表示（equivariant representations）是一种极具前景的方法，能够有效降低深度神经网络的样本复杂度与模型复杂度，同时提升其泛化性能。球面卷积神经网络（spherical CNNs）是这一方向的成功范例，能够生成对球面输入具有 SO(3) 等变性的表示。目前，球面 CNN 主要有两类：第一类将输入提升至旋转群 SO(3) 上的函数，并在该群上执行卷积操作，但由于 SO(3) 比球面多一个维度，导致计算开销较大；第二类则直接在球面上进行卷积，但受限于仅能使用轴对称（各向同性）滤波器，表达能力有限。本文提出了一种新型球面 CNN，能够在不离开球面域的前提下，高效地支持各向异性滤波器。其核心思想是引入自旋加权球面函数（spin-weighted spherical functions），这类函数最初源于物理学中引力波的研究。它们是定义在球面上的复值函数，其相位在旋转下会发生变化。我们定义了自旋加权函数之间的卷积操作，并基于此构建了新的 CNN 架构。此外，自旋加权函数可被解释为球面上的向量场，因此该方法适用于输入或输出为向量场的任务。实验结果表明，该方法在多项任务上均优于以往方法，包括球面图像分类、三维形状分类以及球面全景图的语义分割任务。