分离超平面是指将两个不相交的凸集分割成两部分的一个平面。

在数学中，超平面（Hyperplane）是 n 维欧氏空间中余维度等于 1 的线性子空间。对于低维度，就是平面中的直线、空间中的平面。

分离超平面定理

如果存在两个并查集合 C 和 D（不相交 即 C ∩ D = ∅），且这两个集合都为凸集，

则必然存在一个超平面（超平面既是凸集又是仿射集），

使得对于集合 C 中所有点 x 满足 a ^T x ≤ b , x ∈ C，集合 D 中所有点 x 满足 a ^T x ≥b, x ∈ D，

换言之，仿射函数 a ^T – b 在集合 C 上非正，在集合 D 上非负。

超平面 { x ∣ a ^T = b } 称为集合 C 和 D 的分割超平面，如下图。

逆定理

分离超平面定理的逆定理（converse separating hyperplane theorems）：

对于任意两个凸集 C 和 D ，其中至少一个集合为开集，则当且仅当集合 C 和 D 间存在一个分离超平面时，集合 C 和 D 是不相交（disjoint）的。

相关词：仿射集，凸优化

子级词：超平面