调和平均是一种平均数计算方法，其分为简单和加权两种形式，其中加权调和平均数是加权算术平均数的变形。由于大多数情况下，只知道每组某个标志的数值总和 m，而缺少总体单位数 f 的信息，因此不可直接采用加权算术平均数法计算，而采用加权调和平均数。

加权算术平均的计算公式为：

$latex {A\text{ }=\text{ }\frac{{{ \sum {x\mathop{{}}\nolimits\_{{i}}f\mathop{{}}\nolimits\_{{i}}}}}}{{{ \sum {f\mathop{{}}\nolimits\_{{i}}}}}} \Leftrightarrow \frac{{1}}{{\frac{{{ \sum {f\mathop{{}}\nolimits\_{{i}}}}}}{{{ \sum {x\mathop{{}}\nolimits\_{{i}}f\mathop{{}}\nolimits\_{{i}}}}}}}}\mathop{{ \Longleftrightarrow }}\limits^{{\text{设}\text{ }m\mathop{{}}\nolimits\_{{i}}=x\mathop{{}}\nolimits\_{{i}}f\mathop{{}}\nolimits\_{{i}}}}\frac{{1}}{{{\frac{{{ \sum {\frac{{m\mathop{{}}\nolimits\_{{i}}}}{{x\mathop{{}}\nolimits\_{{i}}}}}}}}{{{ \sum {m\mathop{{}}\nolimits\_{{i}}}}}}}}}\Leftrightarrow \frac{{{ \sum {m\mathop{{}}\nolimits\_{{i}}}}}}{{{ \sum {\frac{{m\mathop{{}}\nolimits\_{{i}}}}{{x\mathop{{}}\nolimits\_{{i}}}}}}}}\text{ }=\text{ }H}$latexA = ∑f_i∑x_if_i​⇔∑x_if_i∑f_i​1​⟺设 m_i=x_if_i​∑m_i∑x_im_i​​1​⇔∑x_im_i​∑m_i​ = H

即，加权调和平均公式为：

$latex {H\text{ }=\text{ }\frac{{{\mathop{ \sum }\nolimits\_{{i=1}}^{{n}}{m\mathop{{}}\nolimits\_{{i}}}}}}{{{\mathop{ \sum }\nolimits\_{{i=1}}^{{n}}{\frac{{m\mathop{{}}\nolimits\_{{i}}}}{{x\mathop{{}}\nolimits\_{{i}}}}}}}}}$latexH = ∑_i=1nx_im_i​∑_i=1nm_i​

当 $latex {m\mathop{{}}\nolimits\_{{i}}\text{ }=\text{ }1}$latexm_i = 1 时，则公式退化成简单调和平均公式：

$latex {H\text{ }=\text{ }\frac{{n}}{{{\mathop{ \sum }\nolimits\_{{i=1}}^{{n}}{\frac{{1}}{{x\mathop{{}}\nolimits\_{{i}}}}}}}}\text{ }=\text{ }\frac{{n}}{{\frac{{1}}{{x\mathop{{}}\nolimits\_{{1}}}}+\frac{{1}}{{x\mathop{{}}\nolimits\_{{2}}}}+…+\frac{{1}}{{x\mathop{{}}\nolimits\_{{n}}}}}}}$latexH = ∑_i=1nx_i1​n​ = x_11​+x_21​+…+x_n1​n​

即，n 个数据的倒数取算术平均，再取倒数。

参考来源

【1】算术平均、几何平均、调和平均、平方平均和移动平均